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\lhead{ \Large{EXERCICES MPSI}}\chead{ \large {A1 III,V. ENSEMBLES, RELATIONS}} \rhead {\Large{R. FERRÉOL  16/17}}
\input{tcilatex}

\begin{document}


\fbox{III. \textbf{ENSEMBLES}}

\begin{enumerate}
\item : $E\mathbb{=}\left\{ a,b\right\} $ ; \`{a} quel ensemble
appartiennent les objets suivants ?\newline
$\left( a,b\right) \quad ;\quad \left\{ a,b\right\} \quad ;\quad \left\{
\left( a,b\right) \right\} \ ~;~\ \left( a,\left\{ b\right\} \right) \quad
;\quad \left( \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \right) \quad ;\quad
\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \right\} \quad ;\quad \left(
a,E\right) \quad ;\quad \left( \emptyset ,\left\{ a\right\} \right) .$

\item : On d\'{e}finit la somme de deux parties $A$ et $B$ de $\mathbb{R}$
par $A+B=\left\{ a+b\ \ /\ \ a\in A\text{ et }b\in B\right\} .$ On demande
de d\'{e}terminer les ensembles suivants :

\begin{enumerate}
\item $\mathbb{R}+\mathbb{R}$

\item $\mathbb{R}_{+}^{\ast }+\mathbb{R}_{-}^{\ast }$

Correction : il est clair que $\mathbb{R}_{+}^{\ast }+\mathbb{R}_{-}^{\ast
}\subset \mathbb{R}\ ;$ montrons que $\mathbb{R}\subset \mathbb{R}_{+}^{\ast
}+\mathbb{R}_{-}^{\ast }$ ; soit donc $x$ un r\'{e}el ;

\qquad si $x>0,$ $x=x+1-1\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }+\mathbb{R}_{-}^{\ast }$

\qquad si $x<0,$ $x=1+x-1\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }+\mathbb{R}_{-}^{\ast }$

\qquad si $x=0,$ $x=1+\left( -1\right) $\ $\in \mathbb{R}_{+}^{\ast }+%
\mathbb{R}_{-}^{\ast }$

ce qui montre\ $\mathbb{R}\subset \mathbb{R}_{+}^{\ast }+\mathbb{R}%
_{-}^{\ast }$ \ ; donc $\mathbb{R}_{+}^{\ast }+\mathbb{R}_{-}^{\ast }=%
\mathbb{R}$

\item $\mathbb{R}_{+}+\left\{ 1\right\} $

\item $\mathbb{Q+Q}$

\item $\mathbb{Q+}\overline{\mathbb{Q}}\ $(compl\'{e}mentaire pris dans $%
\mathbb{R}$)

\item $\overline{\mathbb{Q}}\mathbb{+}\overline{\mathbb{Q}}$

\item $2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}$
\end{enumerate}

\item : Comparer $\left( A\cup B\right) \cap \left( B\cup C\right) \cap
\left( C\cup A\right) $ et $\left( A\cap B\right) \cup \left( B\cap C\right)
\cup \left( C\cap A\right) $.

\item :

\begin{enumerate}
\item Supposons qu'il existe un ensemble $X$ quelconque tel que $\left(
A\cup X\right) \subset \left( B\cup X\right) $ et $\left( A\cap X\right)
\subset \left( B\cap X\right) .$ Montrer que $A\subset B$.\newline
Indication : soit prendre un \'{e}l\'{e}ment de $A$ et montrer qu'il
appartient \`{a} $B,$ soit partir de l'\'{e}galit\'{e} : $A=A\cap \left(
A\cup X\right) $.

\item Qu'en d\'{e}duit-on donc s'il existe $X$ tel que : $\left( A\cup
X\right) =\left( B\cup X\right) $ et $\left( A\cap X\right) =\left( B\cap
X\right) ?$
\end{enumerate}

\item : Expliciter les ensembles suivants :

\begin{enumerate}
\item $\underset{n\in \mathbb{N}^{\ast }}{\cap }\left] -\dfrac{1}{n},\dfrac{1%
}{n}\right[ ,\underset{n\in \mathbb{N}^{\ast }}{\cup }\left[ -1+\dfrac{1}{n}%
,1-\dfrac{1}{n}\right] .$

\item $\underset{0<\varepsilon <\alpha }{\cup }\left] x_{0}-\varepsilon
,x_{0}+\varepsilon \right[ ,$ $\underset{0<\varepsilon <\alpha }{\cup }\left[
x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right] ,\underset{0<\varepsilon
\leqslant \alpha }{\cup }\left] x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon \right[
,\underset{0<\varepsilon \leqslant \alpha }{\cup }\left[ x_{0}-\varepsilon
,x_{0}+\varepsilon \right] ,$ o\`{u} $\alpha $ est un r\'{e}el strictement
positif fix\'{e}.
\end{enumerate}

\fbox{V. \textbf{RELATIONS}}

\item : Trouver l'erreur dans l'affirmation : \textquotedblleft une relation
dans $E$ qui est sym\'{e}trique et transitive est r\'{e}flexive ; en effet,
si $x\mathcal{R}y$ alors $y\mathcal{R}x$ et donc par transitivit\'{e}, $x%
\mathcal{R}x$\textquotedblright . Donner un contre-exemple.

\item : Remplir le tableau : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline
& r\'{e}flexive & $\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{a. sym\'{e}trique} \\ 
\text{b.}\;\text{antisym\'{e}trique}%
\end{array}%
\right. $ & transitive & exemple\thinspace \thinspace \thinspace a. & 
exemple b. \\ \hline
1 & $\times $ & $\times $ & $\times $ & 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
& 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
\\ \hline
2 &  & $\times $ & $\times $ & 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
&  \\ \hline
3 & $\times $ &  & $\times $ & 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
&  \\ \hline
4 & $\times $ & $\times $ &  & 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
&  \\ \hline
5 & $\times $ &  &  & 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
&  \\ \hline
6 &  & $\times $ &  & 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
&  \\ \hline
7 &  &  & $\times $ & 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
&  \\ \hline
8 &  &  &  & 
\begin{tabular}{l}
\thinspace .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ 
\thinspace . \\ 
.%
\end{tabular}
&  \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\item : D\'{e}nombrer dans un ensemble $\mathbb{E}$ \`{a} $n$ \'{e}l\'{e}%
ments :

\begin{enumerate}
\item les relations.

\item les relations r\'{e}flexives.

\item les relations r\'{e}flexives et sym\'{e}triques .

\item les relations sym\'{e}triques.

\item les relations r\'{e}flexives et antisym\'{e}triques.

\item les relations antisym\'{e}triques.

\item les relations sym\'{e}triques et antisym\'{e}triques.
\end{enumerate}

\item : Etudier la relation de lien verbal \textquotedblright a pour carr%
\'{e}\textquotedblright\ ($xRy\Leftrightarrow y=x^{2}$) dans $\mathbb{R}$,
puis dans $\mathbb{C}$ (r\'{e}flexivit\'{e}, sym\'{e}trie, antisym\'{e}trie,
transitivit\'{e}).

\item * : On consid\`{e}re une relation $R$ sym\'{e}trique dans $E$ v\'{e}%
rifiant des propri\'{e}t\'{e}s souvent prof\'{e}r\'{e}es dans la vie
courante concernant la relation d'amiti\'{e} :

\begin{enumerate}
\item 1) les amis de mes amis sont mes amis, autrement dit : 
\begin{equation*}
\forall x,y,z\in E\ \ \ xRy\text{ et }yRz\Rightarrow xRz
\end{equation*}%
2) les ennemis de mes ennemis sont mes amis, autrement dit : 
\begin{equation*}
\forall x,y,z\in E\ \ \ x\NEG{R}y\text{ et }y\NEG{R}z\Rightarrow xRz
\end{equation*}

\item Montrer que les ennemis de mes amis sont mes ennemis et que les amis
de mes ennemis sont mes ennemis aussi.

\item Montrer que $R$ est une relation d'\'{e}quivalence avec au plus deux
classes d'\'{e}quivalence. Autrement dit, soit tout le monde est ami, soit
il y a deux blocs antagonistes form\'{e}s d'amis.

Peut-\^{e}tre une explication de la tendance au bipartisme ?
\end{enumerate}

\item : Caract\'{e}risation de la borne sup\'{e}rieure pour un ensemble
totalement ordonn\'{e}.

Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'ordre total $\preccurlyeq ,$ et $%
A $ une partie non vide de $E.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $m=\sup A\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
m\text{ majore }A \\ 
\forall x\in E\ \ \ \ x\prec m\ \ \Rightarrow \ \exists a\in A\;/\;x\prec
a\preccurlyeq m%
\end{array}%
\right. .$

\item En d\'{e}duire que si $E=\mathbb{R}$ et \textquotedblright $%
\preccurlyeq "$ est la relation d'ordre habituelle alors $m=\sup
A\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
m\text{ majore }A \\ 
\forall \varepsilon >0\;\;\exists a\in A\;/\;m-\varepsilon <a\leqslant m%
\end{array}%
\right. .$

\item Revenant au cas g\'{e}n\'{e}ral, d\'{e}duire du (a) que si $m=\sup A$
et $m\notin A$ alors pour tout \'{e}l\'{e}ment $x\prec m$ de $\mathbb{E}$,
il existe une \textit{infinit\'{e}} d'\'{e}l\'{e}ments de $A$ compris entre $%
x$ et $m.$
\end{enumerate}

\item : Soient $f$ et $g$ deux fonctions r\'{e}elles d\'{e}finies et born%
\'{e}es sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

On consid\`{e}re $A=\underset{x\in I}{\sup }\left( f\left( x\right) \right) +%
\underset{x\in I}{\sup }\left( g\left( x\right) \right) $ et $B=\underset{%
x\in I}{\sup }\left( f\left( x\right) +g\left( x\right) \right) $

\begin{enumerate}
\item Donner un exemple o\`{u} $A=B$ et un exemple o\`{u} $A\neq B.$

\item D\'{e}terminer une in\'{e}galit\'{e} valable dans le cas g\'{e}n\'{e}%
ral entre $A$ et $B.$

\item Que peut-on dire quand l'une des fonctions est constante ?

\item * Que peut-on dire quand $f$ et $g$ sont croissantes ?
\end{enumerate}

\item * : $A$ et $B$ sont des parties non vides de $\mathbb{R}$ ; on demande
de trouver et prouver des formules pour

\begin{enumerate}
\item $\sup \left( A\cup B\right) $

\item $\sup \left( A+B\right) $

\item $\sup \left( AB\right) ,$ avec ici $A$ et $B$ inclus dans $\mathbb{R}%
_{+}^{\ast }$.
\end{enumerate}

\item * : D\'{e}terminer $\underset{x\in \mathbb{R}}{\inf }\;\overset{n}{%
\underset{i=1}{\sum }}\left\vert x-a_{i}\right\vert $ o\`{u} les $a_{i}$
sont des r\'{e}els fix\'{e}s ; cette borne inf\'{e}rieure est-elle atteinte
? (Commencer par regarder $n=1,$ puis $n=2).$

\item : On consid\`{e}re l'ordre lexicographique d\'{e}fini sur $\mathbb{R}%
^{2}$ par 
\begin{equation*}
\left( x,y\right) \leqslant \left( x^{\prime },y^{\prime }\right)
\Leftrightarrow x<x^{\prime }\text{ ou (}x=x^{\prime }\text{ et }y\leqslant
y^{\prime })
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Montrer que c'est une relation d'ordre total.

\item * Existe-t-il une bijection $f$ de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^{2}$
qui soit croissante, c'est-\`{a}-dire telle que $x<x^{\prime }\Rightarrow
f(x)<f(x^{\prime })$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
